Ну, вот, уже кое что отдалённо прорезалось. Значит так в тюркском языке ЕГ- гора, возвышенность, так сказать в принципе.
ЕГИЗ-высота, гора, высокое место(казахи)
ЭГИЗ-Высокая священная гора, высокогорное пастбище (киргизы, древние тюрки)
ЕГОВ, ЕГАВ-гора(уральские народы)
ЭГОВ-начальник(тоже шишка)(узбеки)
явно прослеживается нечто вроде корня ЕГ-, ЭГ-.
САЙ-, ЧАЙ-, САЗ- вода, ручей, болотистое место, т.е. вода.
В первом приближении имеем "горный ручей", "горная вода", "вода с горы", даже "летящий с горы", поскольку вода падает с горы быстро "или быстрый, как горный ручей или поток". Кличка для собаки по-моему, особенно для много килограммового "алабая", котрый носится по горам, вполне подходящаяя и красивая. Тем более, что само слово
"Алабай" происходит от:" "Лабарум" есть явная адаптация тюркского выражения ala barim (ala barim ~ алабарым ~ алабарум ~ лабарум ~ labarum). В его основе: ala (в значении "недобрые помыслы", "козни") и barim (погибель), образованного сочетанием глагола bar- (исчезать, умирать) + аффикс -im." Вот он твой убийца, или по русски проще Волкодав. Алабая и выводили же только за этим. Охранять овец от волков. Но кличку-то хочется дать покрасивше, чем убийца. У нас кавказов или азиатов, почти с метр в холке часто называют "Мальчик". Мой друг по детству сейчас живёт в Канаде, ближе к Аляске. Там такие Хасочки, с маленького медвежонка, она одна нарты таскать может, жаль фотку переслать не могу, их тоже аборигены выводили для охраны и борьбы с Гризли. Кто это, думаю знаешь. Вот такое, примерное и возможное происхождение клички Егсай. Не знаю, как к таксе, но она же тоже вроде как вода по норкам проходит, собака-то охотничья, норная. Неважно, что сейчас её просто так держат, очаровательное создание. У меня время ограничено, не гарантирую, что покопаюсь ещё, поскольку у тюрков гора ещё и ДАГ- и КАР-(м.б. чёрный), но есть значение сильный высокий, мощный.
И вообще это такой интересный языковый источник, и столько слов тюркского и древнетюркского происхождения, которые мы считаем исконно русскими, но не об этом сейчас речь. Если тебя устроит то, что я нарыла, то вот всё. Если нет, ну тогда гугль и яндекс в помошь. Главное, чтоб твоя такса была здоровой, весёлой, подвижной, послушной и долго радовала бы своих хозяев!